CPS Lecture 19 Noise in Digital Modulation
BER & SNR
Bit Error Rate (BER)
Bit Error Rate (BER) 用于衡量数字通信系统中比特出错的平均概率。
- 定义为错误比特数与总传输比特数之比：
$$
\text{BER} = \lim_{N \to \infty} \frac{n}
$$
其中：
-
BER 是衡量信号质量 Signal Quality的直接指标。
在分组通信系统中，常使用 分组误码率 PER (Packet Error Rate)，在误码相互独立时可由 BER 推导。
不同应用的典型 BER 要求：
- 语音编码（Vocoder Speech）：
- 无线数据（Wireless Data）：
- 视频传输（Video Transmission）：
- 金融数据（Financial Data）：
Signal-to-Noise Ratio (SNR)
- 在数字通信中，SNR 定义为每比特能量与噪声功率谱密度之比：
$$
\text{SNR}_{\text{digital}} = \frac{E_b}
$$
其中： -
：每比特能量（Energy per bit） - ：单边噪声功率谱密度（Noise spectral density） SNR 为不同数字调制方案提供了统一比较标准。
常用于比较不同调制方式在 AWGN 信道下的 BER 性能。
噪声中的单脉冲检测
接收信号模型
对于单脉冲传输系统，接收信号为：
等价表示为：
其中：
：发送信号 ：加性白高斯噪声（AWGN）
判决随机变量
用于判断脉冲是否存在的随机变量定义为：
展开后：
- 目标：选择滤波器
，使输出 的 SNR 最大化。
噪声项分析
定义噪声贡献：
噪声均值
（AWGN 为零均值噪声）
噪声方差
展开为：
对白噪声：
因此：
若滤波器归一化：
则：
线性接收机输出噪声特性
- 均值：
- 方差：
- 分布：高斯分布
（高斯噪声经线性滤波后仍为高斯）
信号项分析与匹配滤波器
信号分量：
为了最大化 SNR，需要最大化
Schwarz 不等式
当且仅当：
时取等号。
Matched Filter（匹配滤波器）
- 匹配滤波器：与发送信号形状相匹配的滤波器
- 能在 AWGN 信道下最大化输出 SNR
- 滤波器冲激响应：
$$
g(t) = c, s(T - t)
$$
匹配滤波器输出
- 输出等价于两个信号的互相关（Cross-correlation）
- 因此匹配滤波接收机也称为 相关接收机（Correlation Receiver）
若接收脉冲定时未知，可计算：
Optimum Detection of BPSK
BPSK 发送信号
等价表示为：
其中：
多比特一般形式
：矩形脉冲成形函数